Valore atteso nelle scommesse: quanto vale in media una giocata

Il valore atteso di una giocata è quanto restituisce in media, se la stessa giocata si ripetesse moltissime volte. Si calcola con la quota e la probabilità dell'esito: valore atteso = importo x (probabilità x quota - 1). Sulle quote di un sito il risultato medio è negativo, perché dentro le quote c'è il margine. Qui trovi il calcolo, un esempio su 100 giocate e il motivo per cui una serie fortunata non cambia il conto.

Cos'è il valore atteso

Una singola giocata ha due soli finali: o l'esito si verifica e ricevi importo per quota, o non si verifica e perdi l'importo. Il valore atteso non è nessuno dei due. È la media dei due finali, ciascuno pesato con la sua probabilità.

Un caso con valori di esempio: una giocata da 10 euro su un esito che ha il 50% di probabilità, a quota 1,90.

• Con probabilità 50% l'esito si verifica: ricevi 19 euro, cioè 9 euro in più dell'importo.
• Con probabilità 50% non si verifica: perdi 10 euro.

La media pesata è 0,50 x 9 - 0,50 x 10 = 4,50 - 5,00 = -0,50 euro. Nessuna giocata finisce davvero a -0,50: finisce a +9 o a -10. Ma ripetuta molte volte, in media, ogni giocata da 10 euro lascia 50 centesimi al sito.

La formula del valore atteso

Il conto di prima si scrive in una riga:

Valore atteso = importo x (p x quota - 1)

dove p è la probabilità dell'esito scritta come numero decimale (50% diventa 0,50). Il pezzo p x quota dice quanto restituisce in media ogni euro giocato. Se vale più di 1 il valore atteso è positivo, se vale esattamente 1 è zero, se vale meno di 1 è negativo.

Valori di esempio. La prima riga è la quota equa: la quota che restituisce in media esattamente quanto giochi. Le altre sono più basse della quota equa, e la differenza è il costo medio della giocata.

C'è un limite pratico. La probabilità vera di un esito sportivo nessuno la conosce con precisione. La quota ti dà solo la probabilità implicita (100 diviso la quota), che contiene già il margine del sito. Come si passa dalla quota alla probabilità è spiegato nella guida su come funzionano le quote delle scommesse.

Perché con il margine del sito il valore atteso medio è negativo

Il sito non fissa le quote alla quota equa. Le fissa un po' più basse, e quella differenza è il suo margine. Il modo più diretto per misurarlo è il payout: la parte delle puntate che il mercato restituisce in media. Come si calcola è nella guida su payout e lavagna.

Prendi un 1X2 con quote 1,95, 3,50 e 4,00 (valori di esempio). Le probabilità implicite sommano 104,85% e il payout è 95,37%. Supponi che il sito abbia stimato bene le probabilità e abbia distribuito il margine in modo uniforme. Allora le probabilità vere sono quelle implicite riportate a 100%:

Qualunque esito scegli, ogni euro restituisce in media circa 95 centesimi. Il valore atteso è di circa -4,6 centesimi per euro, cioè il payout meno 1. Scegliere l'esito "più probabile" non cambia il conto: l'1 si verifica più spesso, ma paga meno.

Nella realtà le stime del sito non sono perfette e il margine non è sempre uguale su tutti gli esiti. Per sapere se una certa quota sta sopra o sotto la quota equa servirebbe una stima della probabilità migliore di quella del sito, ed è il tema della lezione sulla quota equa. In media, però, chi gioca sulle quote di un sito restituisce al sito proprio quel margine. Nessun modo di scegliere le giocate toglie il margine dalle quote.

Esempio: 100 giocate a quota 1,90

Ora lo stesso esempio ripetuto 100 volte: 100 giocate da 10 euro, ognuna a quota 1,90 su un esito con probabilità 50% (valori di esempio).

• Totale giocato: 100 x 10 = 1.000 euro.
• Ogni giocata che si verifica restituisce 10 x 1,90 = 19 euro.
• Valore atteso totale: 100 x (-0,50) = -50 euro, cioè il 5% del giocato.

In media l'esito si verifica 50 volte su 100, e 50 x 19 = 950 euro. Ma 50 è solo la media: nella pratica possono essere 44, 50 o 56. Ecco come cambia il saldo:

Per chiudere in attivo servono almeno 53 giocate vinte su 100, perché 1.000 / 19 = 52,6. Con probabilità 50% a giocata, arrivare a 53 o più succede circa il 31% delle volte. In altre parole: con un valore atteso di -50 euro, circa 3 percorsi su 10 finiscono comunque sopra lo zero dopo 100 giocate.

Perché una serie fortunata non cambia il conto

Il valore atteso descrive la media, il caso decide lo scarto intorno alla media. Su poche giocate il caso pesa molto. Su tante giocate pesa sempre meno, perché la perdita attesa cresce in proporzione al numero di giocate e lo scarto dovuto al caso cresce più lentamente.

Stesso esempio, quota 1,90, probabilità 50%, 10 euro a giocata:

Su 100 giocate lo scarto tipico dovuto al caso è di circa 95 euro, più della perdita attesa di 50: il saldo può finire da entrambe le parti dello zero. Su 10.000 giocate lo scarto tipico è di circa 950 euro, mentre la perdita attesa è di 5.000: il saldo finisce quasi sempre vicino a -5.000.

Per questo una serie fortunata non dimostra niente. Tre cose da tenere separate:

1. La giocata successiva non sa nulla delle precedenti. Dopo cinque esiti giusti di fila, la prossima giocata a quota 1,90 su un esito al 50% ha lo stesso valore atteso di prima: -0,50 euro su 10.
2. Un saldo positivo su 100 giocate è compatibile con un valore atteso negativo. Succede a circa 3 percorsi su 10, come visto sopra.
3. I soldi vinti non sono "soldi del sito". Una giocata fatta con le vincite ha lo stesso valore atteso di una fatta con soldi nuovi.

Gli errori di ragionamento che nascono da una serie fortunata, o sfortunata, sono il tema della lezione sugli errori di ragionamento. Come si allarga e si stringe lo scarto al variare del numero di giocate lo vedi nel simulatore qui sotto, e in dettaglio nella lezione sulla varianza.

Cosa ricordare

1. Valore atteso = importo x (probabilità x quota - 1). È la media di una giocata ripetuta molte volte, non il risultato di una giocata.
2. Con il margine dentro le quote, probabilità x quota vale in media il payout, che è sotto 1: il valore atteso medio è negativo.
3. Su 100 giocate da 10 euro a quota 1,90 su esiti al 50% il saldo atteso è -50 euro, ma circa 3 percorsi su 10 chiudono in attivo per effetto del caso.
4. Più giocate fai, più il saldo si avvicina alla perdita attesa. Una serie fortunata non cambia il valore atteso della giocata successiva.