Il criterio di Kelly: la formula, un esempio e perché è così fragile

Il criterio di Kelly è una formula che indica quale frazione del capitale impegnare su una giocata, data una probabilità stimata e una quota. È nata nel 1956 in un lavoro di John Kelly sulla trasmissione dell'informazione, e massimizza la crescita del capitale nel lungo periodo a una condizione: che la probabilità usata sia quella vera. Nelle scommesse la probabilità vera non la conosce nessuno. Con una stima sbagliata la formula amplifica l'errore, e con stime oneste indica quasi sempre zero.

Questa lezione spiega la formula. Non indica importi e non dice quanto impegnare: i numeri sono esempi per capire come si comporta.

La formula di Kelly

Frazione = (b x p - q) / b

• b è la quota meno 1: con quota 2,20, b = 1,20.
• p è la probabilità stimata dell'esito.
• q è la probabilità che l'esito non si verifichi: q = 1 - p.

La stessa formula si può scrivere in un modo più leggibile:

Frazione = (p x quota - 1) / (quota - 1)

Il numeratore, p x quota - 1, è il valore atteso di una giocata da 1. Il denominatore è la vincita netta per 1 di importo. In sostanza Kelly lega la frazione al vantaggio, diviso quanto paga la quota. Se il valore atteso è zero o negativo, la frazione è zero.

Un esempio calcolato

Quota 2,20 e probabilità stimata del 50% (valori di esempio):

1. Valore atteso: 0,50 x 2,20 - 1 = 0,10, cioè +10% per giocata.
2. Quota meno 1: 2,20 - 1 = 1,20.
3. Frazione: 0,10 / 1,20 = 0,0833, cioè l'8,33% del capitale.

Con la prima forma il risultato è lo stesso: (1,20 x 0,50 - 0,50) / 1,20 = 0,10 / 1,20 = 0,0833.

Il numero è il risultato di una formula applicata a una stima ipotetica. Tutto quello che segue serve a capire quanto poco vale se la stima non è giusta.

Perché la formula è fragile

La probabilità del 50% è una stima. La quota 2,20, al netto del margine, potrebbe corrispondere a una probabilità del 45% o del 46%, e il mercato di solito sa più di chi stima da solo. Ecco cosa indica Kelly alla stessa quota 2,20 con stime diverse:

Cinque punti di probabilità separano l'8,33% dallo zero. Chi sovrastima la probabilità di 4 punti si ritrova a impegnare più di otto volte la frazione che la formula indicherebbe con la probabilità giusta.

E l'eccesso costa caro. La grandezza da guardare è la crescita attesa del capitale per giocata, cioè la media del logaritmo del capitale. Due casi, sempre a quota 2,20:

• La stima è giusta (50%) ma si impegna il doppio della frazione di Kelly (16,67%). La crescita attesa è zero. Oltre il doppio diventa negativa.
• Si impegna l'8,33% ma la probabilità vera è il 46%. Ogni giocata ha ancora un valore atteso positivo, +1,2%. Eppure la crescita attesa è negativa, circa -0,31% per giocata. Dopo 1.000 giocate il capitale mediano, cioè quello che sta a metà fra tutti i percorsi possibili, è circa il 4% di quello iniziale.

Il secondo caso è quello che sorprende: con un valore atteso positivo si può distruggere il capitale, se l'impegno è troppo grande rispetto al vantaggio vero. La varianza fa il resto.

Le frazioni di Kelly

Per difendersi dagli errori di stima, chi usa Kelly ne usa spesso solo una parte.

• Mezzo Kelly. Si impegna metà della frazione. Se la stima fosse giusta, si otterrebbe circa il 75% della crescita di Kelly pieno, con oscillazioni dimezzate. Nell'esempio: 4,17% invece di 8,33%.
• Un quarto di Kelly. Con la stima del 50% e la probabilità vera al 46%, un quarto di Kelly (2,08%) dà una crescita attesa praticamente nulla invece che negativa: dopo 1.000 giocate il capitale mediano resta intorno al 99% di quello iniziale.

La frazione non corregge la stima. Riduce i danni quando la stima è sbagliata, ed è quasi sempre sbagliata nella stessa direzione: troppo ottimista.

Perché con stime oneste la frazione è spesso zero

Prova a usare come stima la probabilità del mercato, cioè quella della quota equa. Un 1X2 con quote 1,95, 3,60 e 4,20 (valori di esempio) ha una lavagna del 102,87%. Togliendo il margine, l'1 vale 49,85%.

Alla quota 1,95: valore atteso = 0,4985 x 1,95 - 1 = -2,79%. La frazione di Kelly è negativa, quindi zero. Lo stesso succede per la X e per il 2: con il margine dentro le quote, le probabilità del mercato danno valore atteso negativo su ogni esito.

Per avere una frazione positiva serve una stima diversa da quella del mercato e più giusta della sua. È esattamente la parte difficile, quella discussa nelle lezioni sulla value bet e sul modello di Poisson. Kelly non trova il vantaggio: lo prende per buono.

Nessuna formula elimina il margine del sito, e la grande maggioranza di chi scommette chiude in perdita.

L'errore tipico

L'errore tipico è usare Kelly con stime gonfiate. La formula traduce la fiducia in importi: più sei convinto, più ti dice di impegnare. Se la convinzione non è giustificata, Kelly trasforma un errore di stima in un errore di dimensione. Un tetto fissato prima, che non dipende da quanto ti senti convinto di una giocata, protegge di più di qualsiasi formula: è il tema della lezione sul budget per le scommesse.

Cosa ricordare

1. Frazione di Kelly = (p x quota - 1) / (quota - 1): il valore atteso diviso la vincita netta per 1 di importo.
2. Con quota 2,20 e stima del 50% la formula dà 8,33%; con una stima del 45% dà zero.
3. Impegnare più di Kelly, o usare una stima troppo ottimista, può far scendere il capitale anche con un valore atteso positivo.
4. Le frazioni di Kelly riducono i danni degli errori di stima, non li correggono.
5. Con le probabilità del mercato al netto del margine, la frazione è zero. Nessuna formula elimina il margine e la grande maggioranza di chi scommette chiude in perdita.