Il modello di Poisson nel calcio: dai gol attesi alle probabilità dei risultati

Il modello di Poisson stima le probabilità dei risultati di una partita di calcio partendo da due soli numeri: i gol attesi della squadra di casa e quelli della squadra ospite. Con la distribuzione di Poisson si calcola la probabilità che ciascuna squadra segni 0, 1, 2 o più gol, si combinano le due tabelle nei risultati esatti e da lì si ricavano 1X2, Over 2,5 e Goal. È semplice e utile per capire come nascono le quote. Ha limiti precisi, e qui li vediamo tutti.

Cos'è la distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson descrive quante volte capita un evento in un intervallo di tempo, quando l'evento è raro, i casi sono indipendenti fra loro e la frequenza media è nota. I gol in una partita di calcio si avvicinano abbastanza a questa descrizione: sono pochi, arrivano in momenti sparsi, e per ogni squadra si può stimare una media.

La formula è questa:

P(k) = λ^k x e^(-λ) / k!

• λ (lambda) è il numero medio di gol attesi della squadra in quella partita.
• k è il numero di gol di cui vuoi la probabilità: 0, 1, 2, 3...
• e è una costante, circa 2,71828.
• k! è il fattoriale: 3! = 3 x 2 x 1 = 6. Per convenzione 0! = 1.

Da dove vengono i gol attesi

Il modello non dice quanti gol segnerà una squadra: lo prende come dato. I gol attesi si stimano dalla forza in attacco di una squadra, dalla forza in difesa dell'altra e dal vantaggio di giocare in casa, spesso usando gli xG, i gol attesi delle partite precedenti.

In questa lezione i due numeri sono dati (valori di esempio): λ casa = 1,6 e λ ospite = 1,1. Tutto quello che segue dipende da loro.

Passo 1: la probabilità dei gol di ciascuna squadra

Servono due valori: e^(-1,6) = 0,2019 ed e^(-1,1) = 0,3329.

Per la squadra di casa, la probabilità di segnare 2 gol è:

1,6² x 0,2019 / 2! = 2,56 x 0,2019 / 2 = 0,2584, cioè 25,84%.

Per la squadra ospite, la probabilità di segnare 1 gol è:

1,1 x 0,3329 / 1 = 0,3662, cioè 36,62%.

Con lo stesso conto per ogni numero di gol:

Le righe da 6 gol in su valgono poco: le colonne sommano a quasi 100%.

Passo 2: le probabilità dei risultati esatti

Il modello di base tratta i gol delle due squadre come indipendenti. Allora la probabilità di un risultato è il prodotto delle due probabilità:

P(1-0) = P(casa segna 1) x P(ospite segna 0) = 0,3230 x 0,3329 = 10,75%.

Ripetendo il conto per ogni combinazione si ottiene la tabella dei risultati esatti. Righe: gol della squadra di casa. Colonne: gol della squadra ospite.

Il risultato più probabile è 1-1 con l'11,83%, poi 1-0 con il 10,75% e 2-1 con il 9,46%. Anche il risultato più probabile non arriva al 12%: è il motivo per cui le quote del risultato esatto sono così alte.

Passo 3: da risultati esatti a 1X2, Over 2,5 e Goal

Ogni mercato è una somma di risultati esatti.

1X2. Si sommano le caselle sotto la diagonale (vince la casa), quelle sulla diagonale (pareggio) e quelle sopra (vince l'ospite), includendo anche i risultati con più gol che non stanno in tabella. Il pareggio, per esempio, è 6,72 + 11,83 + 5,20 + 1,02 = 24,77%, più circa 0,1% dei pareggi da 4-4 in su: 24,89%.

Over 2,5. C'è una scorciatoia. Se i gol delle due squadre sono indipendenti, il totale dei gol segue una Poisson con media 1,6 + 1,1 = 2,7. Le probabilità di 0, 1 e 2 gol totali sono 6,72%, 18,15% e 24,50%. L'Under 2,5 è la loro somma, 49,36% (calcolata con i valori non arrotondati), e l'Over 2,5 è il resto: 50,64%.

Goal. Serve che segnino entrambe le squadre. La probabilità che la squadra di casa segni almeno un gol è 1 - 0,2019 = 0,7981; per l'ospite è 1 - 0,3329 = 0,6671. Il prodotto è 0,7981 x 0,6671 = 53,24%.

Come si leggono i mercati di questa tabella è spiegato nelle guide all'Under/Over e al Goal/No Goal.

Dal modello alle quote del sito

La quota equa è 1 diviso la probabilità: è la quota senza margine. Se un sito offre l'1 a 1,95, la probabilità implicita è 100 / 1,95 = 51,28%. Il modello dice 48,96%. Secondo il modello quella quota è sotto la quota equa di 2,04.

Ma quando il modello e il mercato non sono d'accordo, sbaglia più spesso il modello. Il mercato contiene formazioni, infortuni, motivazioni, notizie dell'ultima ora: tutte cose che due numeri di gol attesi non vedono. Per questo una differenza fra modello e quota non è automaticamente una value bet: è una domanda, e quasi sempre la risposta è che al modello manca qualcosa.

Nessun modello elimina il margine del sito, e la grande maggioranza di chi scommette chiude in perdita, anche fra chi usa modelli.

I limiti del modello di Poisson

I gol non sono indipendenti. Una squadra che va sotto attacca di più, una che va avanti si chiude, un'espulsione cambia la partita. Il modello di base ignora tutto questo e moltiplica le probabilità come se le due squadre giocassero due partite separate.

I pareggi sono sottostimati. Confrontando il modello con i risultati reali, il Poisson di base dà ai pareggi con pochi gol, soprattutto 0-0 e 1-1, meno probabilità di quante ne abbiano. Il correttivo più noto è quello proposto da Dixon e Coles nel 1997, che ritocca le probabilità dei risultati con pochi gol.

La media non è costante. Il modello assume che il ritmo dei gol sia lo stesso dal primo all'ultimo minuto. Nella realtà cambia con il punteggio, la stanchezza, i cambi.

Tutto dipende dai gol attesi. Un errore piccolo su λ diventa un errore grande sulle probabilità. Con λ casa a 1,4 invece di 1,6, l'1 scende da 48,96% a 43,80%; con 1,8 sale a 53,76%. Due decimi di gol attesi spostano l'1 di circa 5 punti percentuali.

Cosa ricordare

1. Il modello di Poisson trasforma i gol attesi di casa e ospite nelle probabilità di ogni risultato esatto.
2. Ogni mercato è una somma di risultati esatti: 1X2, Over 2,5 e Goal si ricavano dalla stessa tabella.
3. Con λ 1,6 e 1,1: 1 = 48,96%, X = 24,89%, 2 = 26,15%, Over 2,5 = 50,64%, Goal = 53,24%.
4. Il modello tratta i gol come indipendenti, sottostima i pareggi e dipende tutto dai gol attesi che gli si danno.
5. Nessun modello elimina il margine e la grande maggioranza di chi scommette chiude in perdita.